Memahami konsep barisan aritmatika adalah salah satu pondasi penting dalam matematika, khususnya saat mempelajari pola bilangan dan deret. Barisan aritmatika adalah urutan bilangan di mana selisih antara dua suku berturut-turut selalu konstan. Selisih konstan ini dikenal sebagai "beda" atau "selisih" barisan, yang biasanya dilambangkan dengan huruf 'b'. Setiap elemen dalam barisan ini disebut "suku".
Secara formal, sebuah barisan bilangan u_1, u_2, u_3, \dots, u_n disebut barisan aritmatika jika memenuhi kondisi: u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = \dots = u_n - u_{n-1} = b di mana 'b' adalah beda atau selisih konstan. Suku pertama barisan ini dilambangkan dengan 'u_1' atau terkadang juga 'a'.
Contoh sederhana dari barisan aritmatika adalah: 2, 5, 8, 11, 14, ... Di sini, suku pertama (u_1) adalah 2. Selisih antara suku-suku yang berturut-turut adalah: 5 - 2 = 3 8 - 5 = 3 11 - 8 = 3 Jadi, beda (b) dari barisan ini adalah 3.
Untuk memudahkan analisis dan perhitungan, terdapat beberapa rumus utama yang sering digunakan dalam barisan aritmatika:
Rumus ini digunakan untuk mencari nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika. Jika suku pertama adalah 'a' dan bedanya adalah 'b', maka rumus suku ke-n adalah:
u_n = a + (n-1)b
Keterangan:
Rumus ini digunakan untuk menghitung total dari sejumlah suku pertama dalam barisan aritmatika. Ada dua variasi rumus jumlah n suku pertama:
S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)
Atau jika suku terakhir (u_n) sudah diketahui:
S_n = \frac{n}{2}(a + u_n)
Keterangan:
Diketahui sebuah barisan aritmatika: 3, 7, 11, 15, ... Tentukan nilai suku ke-10 dari barisan tersebut!
Pembahasan: Pertama, kita identifikasi suku pertama (a) dan beda (b). Suku pertama, a = 3. Beda, b = 7 - 3 = 4. Kita ingin mencari suku ke-10, jadi n = 10. Menggunakan rumus suku ke-n: u_n = a + (n-1)b u_{10} = 3 + (10-1) \times 4 u_{10} = 3 + 9 \times 4 u_{10} = 3 + 36 u_{10} = 39 Jadi, nilai suku ke-10 adalah 39.
Sebuah barisan aritmatika memiliki suku pertama 5 dan beda 6. Hitunglah jumlah 8 suku pertama dari barisan tersebut!
Pembahasan: Diketahui: Suku pertama, a = 5. Beda, b = 6. Jumlah suku yang dicari, n = 8. Kita gunakan rumus jumlah n suku pertama: S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) S_8 = \frac{8}{2}(2 \times 5 + (8-1) \times 6) S_8 = 4(10 + 7 \times 6) S_8 = 4(10 + 42) S_8 = 4(52) S_8 = 208 Jadi, jumlah 8 suku pertama adalah 208.
Dalam suatu barisan aritmatika, suku ke-4 adalah 18 dan suku ke-7 adalah 30. Tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut!
Pembahasan: Kita punya informasi: Suku ke-4: u_4 = a + (4-1)b = a + 3b = 18 ... (Persamaan 1) Suku ke-7: u_7 = a + (7-1)b = a + 6b = 30 ... (Persamaan 2) Untuk mencari a dan b, kita bisa menggunakan metode eliminasi dengan mengurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2: (a + 6b) - (a + 3b) = 30 - 18 a + 6b - a - 3b = 12 3b = 12 b = \frac{12}{3} b = 4 Setelah mendapatkan nilai beda (b=4), substitusikan nilai ini ke salah satu persamaan (misalnya Persamaan 1) untuk mencari suku pertama (a): a + 3b = 18 a + 3(4) = 18 a + 12 = 18 a = 18 - 12 a = 6 Jadi, suku pertama barisan tersebut adalah 6 dan bedanya adalah 4.
Latihan soal-soal seperti ini akan sangat membantu mengasah pemahaman Anda tentang barisan aritmatika. Ingatlah untuk selalu mengidentifikasi informasi yang diberikan (suku pertama, beda, nomor suku, atau jumlah suku) dan tentukan rumus mana yang paling sesuai untuk digunakan. Dengan latihan yang konsisten, Anda akan semakin mahir dalam menyelesaikan berbagai tipe soal barisan aritmatika.