Dalam dunia matematika, barisan geometri adalah salah satu topik fundamental yang seringkali muncul dalam berbagai konteks, mulai dari perhitungan bunga majemuk hingga pertumbuhan populasi. Barisan geometri dicirikan oleh adanya rasio tetap antara suku-suku yang berurutan. Suku pertama, yang sering dilambangkan dengan a atau U₁, adalah titik awal dari barisan ini. Mengetahui suku pertama adalah kunci untuk memahami dan memprediksi suku-suku berikutnya dalam barisan. Artikel ini akan memandu Anda langkah demi langkah mengenai cara mencari a pada barisan geometri, baik Anda diberikan beberapa suku awal maupun informasi lain yang relevan.
Sebelum kita masuk ke metode pencarian suku pertama, mari kita segarkan kembali pemahaman kita tentang barisan geometri. Sebuah barisan geometri adalah urutan angka di mana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tetap yang tidak nol, yang disebut rasio (r).
Rumus umum untuk suku ke-n (Uₙ) dalam barisan geometri adalah:
Uₙ = a * r^(n-1)
Di sini:
Uₙ adalah suku ke-na adalah suku pertamar adalah rasion adalah nomor sukuIni adalah skenario yang paling umum ditemui. Jika Anda mengetahui nilai dari dua suku yang berurutan, Anda dapat dengan mudah menemukan rasio, dan kemudian mencari suku pertama.
Misalkan Anda mengetahui suku ke-m (Uₘ) dan suku ke-(m+1) (U_(m+1)).
Rasio (r) dapat ditemukan dengan membagi suku yang lebih akhir dengan suku sebelumnya:
r = U_(m+1) / Uₘ
Setelah rasio r diketahui, Anda bisa menggunakan rumus umum untuk mencari a. Mari kita ambil contoh suku pertama (U₁) dan suku ke-m (Uₘ). Kita tahu bahwa:
Uₘ = a * r^(m-1)
Untuk mencari a, kita bisa mengatur ulang rumus tersebut:
a = Uₘ / r^(m-1)
Sebuah barisan geometri memiliki suku ke-3 (U₃) bernilai 18 dan suku ke-4 (U₄) bernilai 54. Tentukan suku pertamanya (a).
r = U₄ / U₃ = 54 / 18 = 3
U₃ dan n=3.
a = U₃ / r^(3-1)
a = 18 / 3²
a = 18 / 9
a = 2
Jadi, suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah 2.
Jika Anda diberikan nilai suku ke-n (Uₙ) dan nilai rasio (r) secara langsung, prosesnya menjadi lebih sederhana. Anda cukup memasukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus suku ke-n dan menyelesaikan untuk a.
Rumusnya adalah:
a = Uₙ / r^(n-1)
Dalam sebuah barisan geometri, diketahui suku ke-5 (U₅) adalah 48 dan rasionya (r) adalah 2. Berapakah suku pertamanya (a)?
a = U₅ / r^(5-1)
a = 48 / 2⁴
a = 48 / 16
a = 3
Suku pertama barisan tersebut adalah 3.
Skenario ini sedikit lebih menantang. Jika Anda diberi dua suku yang tidak berurutan, misalnya suku ke-m (Uₘ) dan suku ke-p (Uₚ), di mana m ≠ p.
Kita memiliki dua persamaan:
Uₘ = a * r^(m-1)Uₚ = a * r^(p-1)
Anda dapat membagi kedua persamaan ini untuk mengeliminasi a dan menemukan r terlebih dahulu.
Uₘ / Uₚ = (a * r^(m-1)) / (a * r^(p-1))
Uₘ / Uₚ = r^((m-1) - (p-1))
Uₘ / Uₚ = r^(m-p)
Dari sini, Anda bisa mencari r. Setelah r ditemukan, Anda bisa menggunakan salah satu suku yang diketahui (misalnya Uₘ) dan rasio r untuk mencari a menggunakan rumus:
a = Uₘ / r^(m-1)
Diketahui suku ke-2 (U₂) dari sebuah barisan geometri adalah 6 dan suku ke-5 (U₅) adalah 48. Tentukan suku pertamanya (a).
m = 2, p = 5
U₂ / U₅ = r^(2-5)
6 / 48 = r^(-3)
1/8 = 1 / r³
r³ = 8
r = 2
U₂:
a = U₂ / r^(2-1)
a = 6 / 2¹
a = 6 / 2
a = 3
Suku pertama barisan geometri tersebut adalah 3.
Menemukan suku pertama (a) dari sebuah barisan geometri adalah langkah penting dalam analisisnya. Dengan memahami rumus dasar Uₙ = a * r^(n-1) dan menerapkan metode yang sesuai berdasarkan informasi yang diberikan (dua suku berurutan, satu suku dan rasio, atau dua suku tidak berurutan), Anda dapat secara efektif menghitung nilai a. Kuncinya adalah mengidentifikasi informasi yang tersedia, menghitung rasio (jika belum diketahui), dan kemudian menggunakan rumus yang relevan untuk mengisolasi a. Dengan latihan, proses ini akan menjadi semakin intuitif.